Глава 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

5.1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи математики, физики, химии и других точных наук, в том числе вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объема произведенной работы, количества вещества, образовавшегося в результате химической реакции. Далее рассмотрим некоторые из этих задач более подробно.

5.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией будем называть плоскую фигуру, ограниченную осью Ox, графиком непрерывной функции y = f (x) и двумя вертикальными прямыми х = а и х = b. Далее для удобства будем считать

Пример. Фигура aABb, изображенная на рис. 5.1, является криволинейной трапецией. Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, проделаем следующие действия. Сначала разделим основание трапеции [a; b] на n частичных интервалов считая что

Проведем через точки разбиения прямые, параллельные оси Oy, тогда фигура aABb разделится на n элементарных криволинейных трапеций. Обозначим

Вычислим площадь прямоугольника с основаниеми высотой

что приближенно равняется площади k-й элементарной криволинейной трапеции с тем же основанием (см. рис. 5.1). Учитывая, что площадь фигуры, составленной из нескольких непересекающихся фигур, равна сумме площадей этих фигур, получим

Эта сумма является приближением для искомой площади, причем чемменьше (а следовательно, n больше), тем это приближение, вообще говоря, точнее, т. е.

где переход к пределу совершается при условии

Рис. 5.1. Криволинейная трапеция

5.1.2. Определение пути

Предположим, что материальная точка совершает поступательное движение по прямой линии, причем в любой момент времени известна величина скоростиТак же, как в (5.1), разобьем ин-